미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차함수의 세 실근 조건과 극솟값의 곱

문제

사차함수 $f ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - a ) ( x - a + 1 ) ( x - a + 2 )$ ( $k > 0$ )이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 사차방정식 $f ( x ) = 0$ 은 서로 다른 세 실근을 갖는다. (나) 함수 $f ( x )$ 의 두 극솟값의 곱은 $25$ 이다.

두 상수 $a , k$ 에 대하여 $ak$ 의 값은? [4점] ① $30$ ② $40$ ③ $45$ ④ $50$ ⑤ $60$

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②

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해설

(가)에서 세 실근은 $a - 2$ , $a - 1 = 1$ , $a$ 이므로 $a = 2$ 이다. 즉 $f ( x ) = k x ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 )$ 간단히 계산하기 위하여 $g ( x ) = k x ^{2} ( x ^{2} - 1 )$ 이라 두고 극솟값을 구한다. $g' ( x ) = 2 kx ( 2 x ^{2} - 1 )$ $\displaystyle g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = k \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = - 5$ , $k = 20$ $\therefore$ $ak = 40$

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