미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사차함수의 극값

문제

함수 $f \left( x \right)$ $= x ^{4} + ax ^{2} + b$ 는 $x$ $= 1$ 에서 극소이다. 함수 $f \left( x \right)$ 의 극댓값이 $4$ 일 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다.) [3점]

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[출제의도] 사차함수의 극대, 극소를 구할 수 있는가? $f \left( x \right)$ $= x ^{4} + ax ^{2} + b$ 에서 $f' ( x ) = 4 x ^{3} + 2 ax$ 함수 $f \left( x \right)$ 가 $x$ $= 1$ 에서 극소이므로 $f' ( 1 ) = 4 + 2 a = 0$ 에서 $a = - 2$ 그러므로 $f' ( x )$ $= 4 x ^{3} - 4 x$ $= 4 x \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right)$ 이므로 $f' \left( x \right)$ $= 0$ 에서 $x$ $= \mathit{-} 1$ 또는 $x$ $= 0$ 또는 $x$ $= 1$ 함수 $f \left( x \right)$ 는 $x = 0$ 에서 극댓값 $4$ 를 가지므로 $f ( 0 )$ $= b$ $= 4$ 따라서 $a + b$ $= \left( - 2 \right) + 4$ $= 2$

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