미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사차함수의 극대

문제

함수 f(x)=−x4+8a2x2−1f ( x ) = \mathit{-} x ^{4} + 8 a ^{2} x ^{2} - 1이 x=bx = b와 x=2−2bx = 2 - 2 b에서 극대일 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 a>0a > 0, b>1b > 1인 상수이다.) [3점] ①33②55③77④99⑤1111

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①

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수가 극댓값을 갖는 x\mathbf{x}의 값을 구할 수 있는가? f′(x)f' ( x )=−4x3+16a2x= - 4 x ^{3} + 16 a ^{2} x =−4x(x2−4a2)= - 4 x \left( x ^{2} - 4 a ^{2} \right) =−4x(x+2a)(x−2a)= - 4 x ( x + 2 a ) ( x - 2 a ) 이므로 함수의 증감을 조사하면 x=2a,x=−2ax = 2 a , x = - 2 a에서 극댓값을 갖는다. 즉, b+(2−2b)=2a+(−2a)=0b + ( 2 - 2 b ) = 2 a + ( - 2 a ) = 0이므로 b=2b = 2 또, b(2−2b)=2a×(−2a)b ( 2 - 2 b ) = 2 a \times ( - 2 a )이므로 −4=−4a2- 4 = - 4 a ^{2} a>0a > 0이므로 a=1a = 1 따라서 a+b=1+2=3a + b = 1 + 2 = 3

태그

#극값#사차함수

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