사차함수 역함수 보기

ㄱ. $\displaystyle f' ( x ) = \frac{1}{27} ( 4 x ^{3} - 18 x ^{2} + 24 x + 19 )$ $\displaystyle f'' ( x ) = \frac{1}{27} ( 12 x ^{2} - 36 x + 24 )$$\displaystyle = \frac{12}{27} ( x - 1 ) ( x - 2 )$ $f'' ( 2 ) = 0$이고 좌우에서 부호가 바뀌므로 변곡점이다(참) ㄴ. $f ( x ) = x$ $\displaystyle \frac{1}{27} ( x ^{4} - 6 x ^{3} + 12 x ^{2} + 19 x ) = x$에서 $x ^{4} - 6 x ^{3} + 12 x ^{2} - 8 x = 0$ 인수분해하면 $\displaystyle = \frac{1}{27} x ( x - 2 ) ^{3} = 0$에서 실근은 $0 , 2$이므로 양의 실근은 $2$뿐이다(참) ㄷ. $f ( 2 ) = 2$, $f' ( 2 ) = 1$이므로 $\displaystyle g' ( 2 ) = \frac{1}{f' ( 2 )} = 1$ $0 < x < 2$에서 $f ( x ) < x$이므로 $f ( x ) < g ( x )$ $x \geq 2$에서 $f ( x ) > x$이므로 $f ( x ) \geq g ( x )$ $H ( x ) = \left| f ( x ) - g ( x ) \right|$라 하면 $x < 2$에서 $H ( x ) = g ( x ) - f ( x )$ $x \geq 2$에서 $H ( x ) = f ( x ) - g ( x )$ $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}} = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} {\frac{g ( 2 + h ) - g ( 2 )}{h}} = 1$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{H ( 2 + h ) - H ( 2 )}{h}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\left( \frac{g ( 2 + h ) - g ( 2 )}{h} - \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} \right)}$$= 0$ 같은 방법으로 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{H ( 2 + h ) - H ( 2 )}{h}} = 0$ $\therefore H ( x )$는 $x = 2$에서 미분가능하다(참)