사차함수 미분가능 조건

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 조건 (가)에서 $y = f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 $x$좌표가 $2$인 점에서$x$축에 접하므로 $f \left( 2 \right) - g \left( 2 \right) = 0$, $f' \left( 2 \right) - g' \left( 2 \right) = 0$ $f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 $\left( x - 2 \right) ^{2}$을 인수로 갖는다. $\cdots \cdots ( )$ $f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x ^{2} + ax + b \right)$라 하자. 조건 (나)에서 $y = \left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right|$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $y = f \left( x \right) - g \left( x \right) \geq 0$ $\left( x - 2 \right) ^{2} \geq 0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + ax + b \geq 0$ 판별식 $D = a ^{2} - 4 b \leq 0$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x ^{2} + ax + b \right) + g \left( x \right)$ $f' \left( x \right) = 2 \left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + ax + b \right) + \left( x - 2 \right) ^{2} \left( 2 x + a \right) + g' \left( x \right)$ $g' \left( x \right) = 4 x - 1$이므로 $f' \left( 0 \right) = - 4 b + 4 a - 1 = 2$ $\displaystyle b = a - \frac{3}{4}$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $a ^{2} - 4 a + 3 \leq 0$ $\therefore$$1 \leq a \leq 3$ $\displaystyle f \left( 1 \right) = \left( 1 + a + b \right) + g \left( 1 \right) = a + b - 2 = 2 a - \frac{11}{4}$ $f \left( 1 \right)$은 $a = 3$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{13}{4}$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle \alpha = \frac{13}{4}$이고 $40 \alpha = 130$ [참고] $\left( \right)$에서 $f \left( 2 \right) - g \left( 2 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 $x - 2$를 인수로 갖는다. $f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) Q \left( x \right)$라 하면 $f' \left( x \right) - g' \left( x \right) = Q \left( x \right) + \left( x - 2 \right) Q' \left( x \right)$ $f' \left( 2 \right) - g' \left( 2 \right) = Q \left( 2 \right) = 0$ $\therefore$$Q \left( x \right)$는 $x - 2$를 인수로 갖는다. 따라서 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$는 $\left( x - 2 \right) ^{2}$을 인수로 갖는다.