미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사차함수 미분불가능 조건

문제

사차함수 $f ( x )$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \frac{f' ( 5 )}{f' ( 3 )}$ 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 함수 $f ( x )$ 는 $x = 2$ 에서 극값을 갖는다. (나) 함수 $| f ( x ) - f ( 1 ) |$ 은 오직 $x = a ( a > 2 )$ 에서만 미분가능하지 않다.

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12

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해설

$g ( x ) = f ( x ) - f ( 1 )$ 이라 하면 $g ( 1 ) = g' ( 1 ) = 0 , g' ( 2 ) = 0$ $y = | g ( x ) |$ 는 $x = 1$ 에서 극값을 갖는다. 따라서 (나)의 조건에 맞도록 $y = | g ( x ) |$ 의 그래프를 그려보면 아래그림과 같다.

$y = g ( x )$ 의 그래프는 다음 두 가지 경우에 해당한다.

∴ $g' ( x ) = a ( x - 1 ) ^{2} ( x - 2 ) = f' ( x )$ ( $a \neq 0$ ) $\displaystyle \frac{f' ( 5 )}{f' ( 3 )} = \frac{48 a}{4 a} = 12$

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