사차함수 치환적분

$x > 0$일 때, $g ( x ) \geq 0$이므로 $x = - 3$일 때 $g ( x + 3 ) \geq 0$이다. 따라서 조건 (나)에서 $x > - 3$일 때 $f' ( x ) \geq 0$이다. 또, 조건 (가)에서 $f ( x ) \geq f ( - 3 )$이므로 함수 $f ( x )$는 $x = - 3$에서 극소이면서 최소이다. 조건 (나)에 $x = 0$을 대입하면 $f' ( 0 ) = 0$이므로 $f' ( x ) = 4 x ^{2} ( x + 3 ) = 4 x ^{3} + 12 x ^{2}$ $f ( x ) = x ^{4} + 4 x ^{3} + C$ (단, $C$는 적분상수) $\displaystyle \therefore \int _{4} ^{5} {} g ( x ) dx = \int _{1} ^{2} {} g ( x + 3 ) dx = \int _{1} ^{2} {} \frac{f' ( x )}{\left\{ f ( x ) - f ( 0 ) \right\} ^{2}} dx$ $f ( x ) - f ( 0 ) = t$로 치환하면 $f ( 1 ) - f ( 0 ) = 5$, $f ( 2 ) - f ( 0 ) = 48$ $f' ( x ) dx = dt$ 이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{2} {} \frac{f' ( x )}{\left\{ f ( x ) - f ( 0 ) \right\} ^{2}} dx$$\displaystyle = \int _{5} ^{48} {} \frac{1}{t ^{2}} dt = \left[ - \frac{1}{t} \right] _{5} ^{48}$ $\displaystyle = - \frac{1}{48} + \frac{1}{5}$$\displaystyle = \frac{48 - 5}{240} = \frac{43}{240}$ $\therefore p + q = 240 + 43 = 283$