사차다항식의 인수조건과 근의 합

주어진 $4$차다항식이 $x ^{2} + 4$로 나누어떨어지므로 $ax ^{4} + bx ^{3} + cx ^{2} - 3 x = ( x ^{2} + 4 ) \cdot Q ( x ) \cdots$(1) 식 (1)은 $x$에 관한 항등식이므로 $x = 2 i$를 대입하면 $16 a - 8 bi - 4 c - 6 i = 0$ $4 ( 4 a - c ) - 2 ( 4 b + 3 ) i = 0$ $a , b , c$는 실수이므로 실수부와 허수부가 각각 $0$일 때 등식이 성립한다. 따라서, $\displaystyle a = \frac{1}{4} c , b = - \frac{3}{4}$ 방정식 $a x ^{4} + b x ^{3} + c x ^{2} - 3 x = 0$의 모든 근의 합은 $\displaystyle - \frac{b}{a} = - \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4} c} = \frac{3}{c}$