사차다항식 나머지

[출제의도] 나머지정리를 활용하여 문제 해결하기 $f \left( x \right)$를 $x + 1$, $x ^{2} - 3$으로 나눈 몫을 각각 $Q _{1} \left( x \right)$, $Q _{2} \left( x \right)$, 나눈 나머지를 $R$라 하자. $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) Q _{1} \left( x \right) + R$에서 $f \left( x \right) - R = \left( x + 1 \right) Q _{1} \left( x \right)$ $f \left( x \right) = \left( x ^{2} - 3 \right) Q _{2} \left( x \right) + R$에서 $f \left( x \right) - R = \left( x ^{2} - 3 \right) Q _{2} \left( x \right)$이므로 $f \left( x \right) - R = \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 3 \right) \left( x + a \right)$ $\cdots \text{㉠}$ $f \left( x + 1 \right) - 5$를 $x ^{2} + x$로 나눈 몫을 $Q _{3} \left( x \right)$라 하면 $f \left( x + 1 \right) - 5 = \left( x ^{2} + x \right) Q _{3} \left( x \right)$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$에서 $x = - 1$, $x = 0$을 대입하면 $f \left( 0 \right) = 5$, $f \left( 1 \right) = 5$ $\text{㉠}$에서 $x = 0$, $x = 1$을 대입하면 $f \left( 0 \right) = - 3 a + R = 5$, $f \left( 1 \right) = - 4 - 4 a + R = 5$ $R = - 7$, $a = - 4$ 따라서 $f \left( x \right) = \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 3 \right) \left( x - 4 \right) - 7$이고 $f \left( 4 \right) = - 7$