사차다항식 조건

[출제의도] 나머지정리 이해하기 (가)에 의하여 $f \left( x \right)$를 $x + 2$, $x ^{2} + 4$로 나누었을 때의 몫을 각각 $Q _{1} \left( x \right)$, $Q _{2} \left( x \right)$라고 하면 나머지가 $3 p ^{2}$으로 같으므로 $f \left( x \right) = \left( x + 2 \right) Q _{1} \left( x \right) + 3 p ^{2}$$= \left( x ^{2} + 4 \right) Q _{2} \left( x \right) + 3 p ^{2}$이다. 사차항의 계수가 $1$인 $f \left( x \right)$에서는 $Q _{1} \left( x \right)$는 $x ^{2} + 4$를 인수로 갖고 $Q _{2} \left( x \right)$는 $x + 2$를 인수로 가져야 하므로 $Q _{1} \left( x \right)$와 $Q _{2} \left( x \right)$의 공통인수를 $x + a$라 하면 $f \left( x \right) = \left( x + 2 \right) \left( x ^{2} + 4 \right) \left( x + a \right) + 3 p ^{2}$이다. (나)에 의하여 $f \left( 1 \right) = f \left( - 1 \right)$이므로 $a = \mathit{-} 2$이고 $f \left( x \right) = x ^{4} - 16 + 3 p ^{2}$이다. (다)에 의하여 $\displaystyle f \left( \sqrt{p} \right) = 0$이므로 $p ^{2} + 3 p ^{2} - 16 = 0$, $p ^{2} = 4$이다. 따라서 $p$는 양수이므로 $p = 2$이다.