미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

사차부등식이 성립할 조건

문제

모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $x ^{4} - 4 x ^{3} + 16 x + a \geq 0$ 이 항상 성립하도록 하는 실수 $a$ 의 최솟값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 $f \left( x \right)$ $=$ $x ^{4} - 4 x ^{3} + 16 x + a$ 라 하면 $f' \left( x \right)$ $= 4 x ^{3} - 12 x ^{2} + 16$ $= 4 \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) ^{2}$ $f' \left( x \right)$ $= 0$ 에서 $x$ $= \mathit{-} 1$ 또는 $x$ $= 2$ 함수 $f \left( x \right)$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면

${x}$	${\cdots}$	$- 1$	${\cdots}$	$- 2$	${\cdots}$
${f' ( x )}$	$-$	$0$	$+$	$0$	$+$
${f ( x )}$	$\searrow$	$a - 11$	$\nearrow$	$a + 16$	$\nearrow$

함수 $f \left( x \right)$ 는 $x$ $= \mathit{-} 1$ 에서 최솟값 $a - 11$ 을 갖는다. 모든 실수 $x$ 에 대하여 부등식 $x ^{4} - 4 x ^{3} + 16 x + a \geq 0$ 이 항상 성립하기 위해서는 $a - 11 \geq 0$ , $a \geq 11$ 따라서 $a$ 의 최솟값은 $11$

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