사차부등식이 성립할 조건

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 실수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. $f ( x )$$= 3 x ^{4} - 4 x ^{3} - 12 x ^{2} + k$라 하면 $f' ( x )$$= 12 x ^{3} - 12 x ^{2} - 24 x$$= 12 x \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right)$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f ( x )$는 $x = \mathit{-} 1$, $x = 2$에서 극소, $x = 0$에서 극대이다. 이때 $f ( - 1 ) = \mathit{-} 5 + k$, $f ( 2 ) = \mathit{-} 32 + k$이므로 $f ( - 1 ) > f ( 2 )$ 모든 실수 $x$에 대하여 주어진 부등식이 항상 성립하려면 $f ( 2 )$$= \mathit{-} 32 + k$$\geq 0$ 즉, $k {\geq} 32$이어야 한다. 따라서 실수 $k$의 최솟값은 $32$이다.