사차방정식 실근과 허근

[출제의도] 사차방정식을 활용하여 문제해결하기 $x ^{2} + kx = X$라 하면 $\left( x ^{2} + kx + 2 \right) \left( x ^{2} + kx + 6 \right) + 3 = 0$ $\left( X + 2 \right) \left( X + 6 \right) + 3 = 0$ $X ^{2} + 8 X + 15 = 0$ $\left( X + 3 \right) \left( X + 5 \right) = 0$ $\left( x ^{2} + kx + 3 \right) \left( x ^{2} + kx + 5 \right) = 0$ 두 이차방정식 $x ^{2} + kx + 3 = 0 , x ^{2} + kx + 5 = 0$의 판별식을 각각 $D _{1} , D _{2}$라 하면 $D _{1} = k ^{2} - 12 , D _{2} = k ^{2} - 20$ 사차방정식 $\left( x ^{2} + kx + 2 \right) \left( x ^{2} + kx + 6 \right) + 3 = 0$이 실근과 허근을 모두 가지려면 $D _{1} < 0 , D _{2} \geq 0$ 또는 $D _{1} \geq 0 , D _{2} < 0$이어야 한다. $D _{1} < 0 , D _{2} \geq 0$에서 $k ^{2} < 12 , k ^{2} \geq 20$을 만족시키는 자연수 $k$는 존재하지 않는다. $D _{1} \geq 0 , D _{2} < 0$에서 $12 \leq k ^{2} < 20$을 만족시키는 자연수 $k$의 값은 $4$이다. 따라서 사차방정식 $\left( x ^{2} + kx + 2 \right) \left( x ^{2} + kx + 6 \right) + 3 = 0$이 실근과 허근을 모두 갖도록 하는 자연수 $k$의 값은 $4$