사차방정식 실근

[출제의도] 사차방정식을 활용하여 문제 해결하기 $x ^{4} + \left( 2 a + 1 \right) x ^{3} + \left( 3 a + 2 \right) x ^{2} + \left( a + 2 \right) x = 0$ $x \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} + 2 ax + a + 2 \right) = 0$ 이므로 사차방정식의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이 되기 위해서는 주어진 사차방정식이 한 개의 중근을 가져야 한다. (ⅰ) $x = 0$이 사차방정식의 중근인 경우 $x = 0$은 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + a + 2 = 0$의 해이므로 $0 ^{2} + 2 a \times 0 + a + 2 = 0$, $a = - 2$ 사차방정식의 서로 다른 세 실근은 $x = - 1$, $x = 0$(중근), $x = 4$ (ⅱ) $x = - 1$이 사차방정식의 중근인 경우 $x = - 1$은 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + a + 2 = 0$의 해이므로 $\left( - 1 \right) ^{2} + 2 a \times \left( - 1 \right) + a + 2 = 0$, $a = 3$ 사차방정식의 서로 다른 세 실근은 $x = - 5$, $x = - 1$(중근), $x = 0$ (ⅲ) 사차방정식이 $x \ne 0$이고 $x \ne - 1$인 중근을 갖는 경우 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + a + 2 = 0$이 중근을 가져야 하므로 이차방정식 $x ^{2} + 2 ax + a + 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= \left( 2 a \right) ^{2} - 4 \left( a + 2 \right) = 0$ $a = - 1$ 또는 $a = 2$ $\text{ⓐ}$$a = - 1$인 경우 사차방정식의 서로 다른 세 실근은 $x = - 1$, $x = 0$, $x = 1$(중근) $\text{ⓑ}$$a = 2$인 경우 사차방정식의 서로 다른 세 실근은 $x = - 2$(중근), $x = - 1$, $x = 0$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 실수 $a$는 $- 2$, $- 1$, $2$, $3$ 따라서 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $12$