미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

사분원 잘라내기 넓이 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형을 넓이가 같은 44개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 11인 사분원 22개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 T1T _{1}이라 하자. T1T _{1}에서 한 변의 길이가 11인 정사각형 22개를 각각 넓이가 같은 44개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 사분원 44개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 T2T _{2}라 하자. T2T _{2}에서 한 변의 길이가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 정사각형 44개를 각각 넓이가 같은 44개의 정사각형으로 나누고 반지름의 길이가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 사분원 88개의 외부(어두운 부분)를 잘라낸 후 남은 도형을 T3T _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 도형을 TnT _{n}이라 하고 그 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

⋯
T1T _{1}T2T _{2}T3T _{3}T4T _{4}

①π2\displaystyle \frac{\pi}{2}②23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi③34π\displaystyle \frac{3}{4} \pi④π\pi⑤54π\displaystyle \frac{5}{4} \pi

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④

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해설

S1=2+π2\displaystyle S _{1} = 2 + \frac{\pi}{2} S2=π2+(1+π4)=1+(π2+π4)\displaystyle S _{2} = \frac{\pi}{2} + \left( 1 + \frac{\pi}{4} \right) = 1 + \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) S3=π2+(12+π4+π8)\displaystyle S _{3} = \frac{\pi}{2} + \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} \right) =12+(π2+π4+π8)\displaystyle = \frac{1}{2} + \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} \right) ⋮\vdots lim⁡n→∞Sn=π21−12=π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \piSn=2(12)n−1+(π2+π4+π8+⋯+π2n)\displaystyle S _{n} = 2 \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} + \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \cdots + \frac{\pi}{2 ^{n}} \right) 이므로 lim⁡n→∞Sn=π21−12=π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{\frac{\pi}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \pi

태그

#등비급수#도형#넓이

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