미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

사분원 반원 도형 급수

문제

한 변의 길이가 11인 정사각형을 RR라 하자. RR의 각 변을 22등분 한 후 [그림1]과 같이 각 꼭지점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 사분원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. RR의 각 변을 44등분 한 후 [그림2]와 같이 각 꼭지점 및 각 변의 이등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. RR의 각 변을 88등분 한 후 [그림3]과 같이 각 꼭지점 및 각 변의 사등분점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 18\displaystyle \frac{1}{8}인 사분원과 반원을 그릴 때, 어두운 부분의 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 방법으로 S4,S5,S6,⋯S _{4} , S _{5} , S _{6} , \cdots 을 구할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi②34π\displaystyle \frac{3}{4} \pi③79π\displaystyle \frac{7}{9} \pi④78π\displaystyle \frac{7}{8} \pi⑤89π\displaystyle \frac{8}{9} \pi

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①

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해설

nn번째 도형에서 작은 원 11개의 넓이는 (12n)2π=14nπ\displaystyle \left( \frac{1}{2 ^{n}} \right) ^{2} \pi = \frac{1}{4 ^{n}} \pi nn번째 도형에서 작은 원의 개수는 2n−12 ^{n} - 1 Sn=2n−14nπ\displaystyle S _{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{4 ^{n}} \pi=(12n−14n)π\displaystyle = \left( \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{4 ^{n}} \right) \pi ∴ ∑n=1∞Sn=(121−12−141−14)π\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \left( \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} \right) \pi=(1−13)π=23π\displaystyle = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \pi = \frac{2}{3} \pi

태그

#등비급수#도형#넓이

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