로그와 지수곡선의 교점

[출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 문제를 해결한다. 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 모두 $k$이므로 $\mathrm{A} \mathit{\left( 1 , k \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( \log _{a} k + k , k \right)}$이다. 두 점 $\mathrm{C}$와 $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 모두 $k$이므로 $\mathrm{C} \mathit{\left( k , 2 \log _{a} k + k \right.} )$, $\mathrm{D} \mathit{\left( k , 1 \right)}$이다. 두 선분 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{CD}$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 $\mathrm{E} \mathit{\left( k , k \right)}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} \mathit{=} k - 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} \mathit{=} \log _{a} k$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} \mathit{=} 2 \log _{a} k$, $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} \mathit{=} k - 1$ 사각형 $\mathrm{ADBC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{AB}} \times {\overline{CD}} = \frac{85}{2}$이고, 삼각형 $\mathrm{CAD}$의 넓이는 $35$이므로 삼각형 $\mathrm{CBD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{85}{2} - 35 = \frac{15}{2}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}$$= p$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}}$$= q$라 하면 두 삼각형 $\mathrm{CAD}$, $\mathrm{CBD}$의 넓이의 비는 $\displaystyle p : q = 35 : \frac{15}{2} = 14 : 3$ 즉, $\displaystyle q = \frac{3}{14} p$ 이때 $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}}$$= 2 q$, $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$$= p$이므로 삼각형 $\mathrm{CAD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AE}} \times {\overline{CD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{AE}} \times \left( {\overline{CE}} + {\overline{DE}} \right)$ $\displaystyle \mathit{=} \frac{1}{2} \times p \times \left( 2 q + p \right)$$\displaystyle = \frac{p}{2} \times \left( \frac{3}{7} p + p \right)$ $\displaystyle = \frac{5}{7} p ^{2}$$= 35$ $p ^{2} = 49$이고 $p > 0$이므로 $p = 7$, $\displaystyle q = \frac{3}{2}$ $k - 1 = p$, $\log _{a} k = q$이므로 $k = p + 1 = 8$ $q =$$\log _{a} k$$= \log _{a} 8$$\displaystyle = \frac{3}{2}$, $\displaystyle a ^{\frac{3}{2}} = 8$ 즉, $a = 4$ 따라서 $a + k = 12$