로그와 지수 그래프 사이 거리

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 직선 $y = x + n - 2 ^{n}$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자. i) $n = 1$일 때,

$y = x - 1$ $y = \log _{2} x$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$

점 ${\mathrm{A}} \left( 2 , 1 \right)$, 점 ${\mathrm{C}} \left( 1 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{AC}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} \mathit{<} \sqrt{2}$ 따라서 $n = 1$일 때 주어진 식을 만족시키지 않는다. ii) ${n} \geq 2$일 때,

$y = x + n - 2 ^{n}$ $y = \log _{2} x$ $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ $2 ^{n} - n + 1$

점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} ^{n} - n , 0 \right)$ 직선 $y = x + n - 2 ^{n}$이 직선 $y = 1$과 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면, 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $\left( \mathit{2} ^{n} - n + 1 , 1 \right)$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} < \mathrm{\overline{AB}} < {\overline{AC}}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = \left( n - 1 \right) \sqrt{2}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = n \sqrt{2}$ 즉, $\displaystyle n - 1 < \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sqrt{2}} < n$ i), ii)에 의하여 $\displaystyle 1 < \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sqrt{2}} < 10$을 만족시키는 자연수 $n$은 $2 , 3 , 4 , \cdots , 10$이다. 따라서 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $54$