대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그와 집합 원소

문제

자연수 전체의 집합의 두 부분집합 $A = \left\{ a , b , c \right\}$ , $B = \left\{ \log _{2} a , \log _{2} b , \log _{2} c \right\}$ 에 대하여 $a + b = 24$ 이고 집합 $B$ 의 모든 원소의 합이 $12$ 일 때, 집합 $A$ 의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, $a$ , $b$ , $c$ 는 서로 다른 세 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 집합 문제 해결하기 집합 $B$ 의 원소는 모두 자연수이므로 $a$ , $b$ , $c$ 는 모두 $2 ^{k}$ ( $k$ 는 자연수)의 꼴이다. $a + b = 24$ 이므로 $\left\{ a , b \right\} = \left\{ 8 , 16 \right\}$ 이고 $A = \left\{ 8 , 16 , c \right\}$ , $B = \left\{ 3 , 4 , \log _{2} c \right\}$ 이다. 집합 $B$ 의 모든 원소의 합이 $12$ 이므로 $\log _{2} c = 5$ 이고 $c = 2 ^{5} = 32$ 이다. 따라서 집합 $A$ 의 모든 원소의 합은 $8 + 16 + 32 = 56$ 이다.

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