대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그로 주어진 두 점의 내분점

문제

수직선 위의 두 점 P(log⁡53){\mathrm{P}} \mathit{\left( \log _{5} 3 \right)}, Q(log⁡512){\mathrm{Q}} \mathit{\left( \log _{5} 12 \right)}에 대하여 선분 PQ{\mathrm{PQ}}를 m:(1−m)m : \left( 1 - m \right)으로 내분하는 점의 좌표가 1\mathrm{1}일 때, 4m4 ^{m}의 값은? (단, mm은 0<m<10 < m < 1인 상수이다.) [4점] ①76\displaystyle \frac{7}{6}②43\displaystyle \frac{4}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤116\displaystyle \frac{11}{6}

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④

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해설

선분 PQ‾\displaystyle {\mathrm{\overline{PQ}}}를 m:(1−m)m : \left( 1 - m \right)으로 내분하는 점의 좌표가 11이므로 mlog⁡512+(1−m)log⁡53m+(1−m)=1\displaystyle \frac{m \log _{5} 12 + \left( 1 - m \right) \log _{5} 3}{m + \left( 1 - m \right)} = 1 m(log⁡53+log⁡54)+(1−m)log⁡53=1m \left( \log _{5} 3 + \log _{5} 4 \right) + \left( 1 - m \right) \log _{5} 3 = 1 mlog⁡54+log⁡53=1m \log _{5} 4 + \log _{5} 3 = 1, log⁡5(4m×3)=1\log _{5} \left( 4 ^{m} \times 3 \right) = 1 4m×3=54 ^{m} \times 3 = 5이므로 4m=53\displaystyle 4 ^{m} = \frac{5}{3}

태그

#로그의 성질#내분점

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