로그지수 곡선 보기

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 활용하여 문제 해결하기 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$, 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{BP}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$라 하자.

ㄱ. 직선 $l$의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{{\overline{BQ}}}}{{\overline{AQ}}}$$\displaystyle \frac{= \mathit{y _{2} - y _{1}}}{x _{2} - x _{1}}$$\displaystyle = \frac{1}{3}$, $y _{2} - y _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{3} \left( x _{2} - x _{1} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \mathit{\sqrt{\left( x _{2} - x _{1} \right) ^{2} + \left( y _{2} - y _{1} \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{10}$ $\displaystyle \frac{10}{9} \left( x _{2} - x _{1} \right) ^{2} = 10$, $\left( x _{2} - x _{1} \right) ^{2} = 9$ $x _{1} < x _{2}$ 이므로 $x _{2} - x _{1} = 3$ (참) ㄴ. $\displaystyle \mathrm{\angle AQB = \angle BRC = \frac{\pi}{2}}$이고 $\displaystyle \mathrm{\angle ABQ + \angle CBR = \angle CBR + \angle BCR = \frac{\pi}{2}}$ 이므로 $\mathrm{\angle ABQ = \angle BCR}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB} = \overline{BC} = \sqrt{10}}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABQ}$와 $\mathrm{BCR}$는 합동이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = {\overline{BR}} = 3$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ} = \overline{CR} = 1}$ $x _{3} - x _{1}$$\displaystyle \mathrm{= \overline{AQ} + \overline{CR}}$$= 3 + 1$$= 4$ $y _{1} - y _{3}$$\displaystyle \mathrm{= \overline{QR}}$$\displaystyle \mathrm{= \overline{BR} - \overline{BQ}}$$= 3 - 1$$= 2$ $x _{3} - x _{1} = 2 \left( y _{1} - y _{3} \right) = 4$ (참) ㄷ. ㄱ에 의하여 $\mathrm{A} \left( \mathit{x} _{1} , y _{1} \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{x} _{1} + 3 , y _{1} + 1 \right)$ 두 점 $\mathrm{A , B}$는 곡선 $y = \log _{4} ax$위에 있으므로 $y _{1} = \log _{4} ax _{1}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $y _{1} + 1 = \log _{4} a \left( x _{1} + 3 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ 점 $\mathrm{A}$는 곡선 $\displaystyle y = b \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{x}$위에 있으므로 $\displaystyle y _{1} = \frac{b}{3 ^{x _{1}}}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle 1 = \log _{4} \frac{x _{1} + 3}{x _{1}}$, $x _{1} = 1$ ㉠, ㉢에 의하여 $\displaystyle \log _{4} a = \frac{b}{3}$, $\displaystyle a = 4 ^{\frac{b}{3}}$ $\displaystyle a ^{2} = 4 ^{\frac{2}{3} b}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ [참고] 점 $\mathrm{C} \left( \mathit{x} _{1} + 4 , y _{1} - 2 \right)$는 곡선 $\displaystyle y = b \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{x}$위에 있고 $x _{1} = 1$, $\displaystyle y _{1} = \frac{b}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{b}{3} - 2 = b \times 3 ^{- 5}$에서 $\displaystyle b = \frac{243}{40}$ $a$$\displaystyle = 4 ^{\frac{b}{3}}$$\displaystyle = 4 ^{\frac{81}{40}} = 2 ^{\frac{81}{20}}$