로그합성 적분 최대

[출제의도] 미적분을 이용하여 함수 추론하기 $f ( x ) = ax ^{2} + bx + c ( a > 0 )$이라 하자. $\displaystyle g' ( x ) = - \frac{f' ( x )}{f ( x )} = - \frac{2 ax + b}{ax ^{2} + bx + c}$ $\displaystyle g'' ( x ) = - \frac{2 a ( ax ^{2} + bx + c ) - ( 2 ax + b ) ^{2}}{( ax ^{2} + bx + c ) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{2 a ^{2} x ^{2} + 2 abx + b ^{2} - 2 ac}{( ax ^{2} + bx + c ) ^{2}}$ 조건 (나)에 의하여 $g' ( x )$가 $x = 1$에서 극대이고, $x = 7$에서 극소이므로 $g'' ( 1 ) = g'' ( 7 ) = 0$ $2 a ^{2} x ^{2} + 2 abx + b ^{2} - 2 ac = 0$의 두 근이 1과 7이다. 두 근의 합은 $\displaystyle - \frac{2 ab}{2 a ^{2}} = 8$이므로 $b = - 8 a$ 두 근의 곱은 $\displaystyle \frac{b ^{2} - 2 ac}{2 a ^{2}} = \frac{64 a ^{2} - 2 ac}{2 a ^{2}} = 7$ 이므로 $c = 25 a$ 따라서 $f ( x ) = ax ^{2} - 8 ax + 25 a$ 조건 (가)에 의하여 $f ( 1 ) = 18$이므로 $a = 1$ $g' ( x ) = 0$을 만족하는 $x = 4$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소, 곡선 $y = g ( x )$의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.

$f ( x )$가 $x = 4$에 대하여 대칭이므로 $g ( x )$는 $x = 4$에 대하여 대칭이다. 따라서 $h ( x )$는 $x = 3$에서 최댓값을 가진다. $k = 3$이고, $g ( 0 ) = - \ln 25$이므로 $\displaystyle \therefore \frac{k}{e ^{g ( 0 )}} = \frac{3}{\frac{1}{25}} = 75$