로그함수와 교점 개수

[출제의도] 적분법을 활용하여 문제해결하기 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right)} - \frac{1}{10} f' \left( x \right)$ $\displaystyle = \frac{f' \left( x \right)}{10 f \left( x \right)} \left\{ 10 - f \left( x \right) \right\}$ $g' \left( x \right)$$= 0$이 되려면 $f' \left( x \right)$$= 0$ 또는 $f \left( x \right)$$= 10$ $f' \left( x \right)$$= 2 ax$이므로 $x = 0$일 때에만 $f' \left( x \right)$$= 0$ (ⅰ) 방정식 $f \left( x \right) - 10$$= 0$이 실근을 갖지 않을 때, $f' \left( 0 \right)$$= 0$, $f \left( x \right) > 10$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

(ⅱ) 방정식 $f \left( x \right) - 10$$= 0$이 중근을 가질 때, $f' \left( 0 \right)$$= 0$, $f \left( 0 \right)$$= 10$, $f \left( x \right) \geq 10$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

(ⅰ), (ⅱ)의 경우에는 함수 $g \left( x \right)$가 $x$$= 0$에서 극댓값을 갖는다. 그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) 방정식 $f \left( x \right) - 10$$= 0$이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 방정식 $f \left( x \right) - 10$$= 0$의 서로 다른 두 실근을 $\alpha , \beta$$\left( \alpha < \beta \right)$라 하면 $\alpha$$= \mathit{-} \beta$ $f \left( - x \right)$$= f \left( x \right)$이므로 $g \left( - x \right)$$= g \left( x \right)$ 함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 $y$축 대칭이므로 $g \left( \alpha \right)$$= g \left( \beta \right)$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

(ⅲ)의 경우에는 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 0$에서 극솟값을 가지므로 조건 (가)를 만족시킨다. $f \left( 0 \right)$$= b$$< f \left( \alpha \right)$$= \mathit{10}$이므로 $1 \leq b < 10$ $g \left( 0 \right)$$\displaystyle = \ln f \left( 0 \right) - \frac{1}{10} \left( f \left( 0 \right) - 1 \right)$$\displaystyle = \ln b - \frac{1}{10} \left( b - 1 \right)$ $p \left( x \right)$$\displaystyle = \ln x - \frac{1}{10} \left( x - 1 \right)$이라 하면 $p' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{x} - \frac{1}{10}$$\displaystyle = \frac{10 - x}{10 x}$ $1 \leq x < 10$일 때 $p' \left( x \right) > 0$이므로 $p \left( x \right)$는 증가함수이다. $g \left( 0 \right)$$\geq p \left( 1 \right)$$= 0$ 함수 $\left| g \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형은 다음 $2$가지 경우와 같다. (1) $g \left( 0 \right)$$= 0$일 때

함수 $h \left( t \right)$가 $t$$= k$에서 불연속인 $k$의 값의 개수는 $7$이므로 조건 (나)를 만족시킨다. (2) $g \left( 0 \right) > 0$일 때

함수 $h \left( t \right)$가 $t$$= k$에서 불연속인 $k$의 값의 개수는 $11$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $g \left( 0 \right)$$= 0$ $0$$= g \left( 0 \right)$$= p \left( b \right)$$\geq p \left( 1 \right)$$= 0$이므로 $p \left( b \right)$$= p \left( 1 \right)$ 함수 $p \left( x \right)$는 $1 \leq x < 10$에서 증가함수이므로 $b$$= 1$, $f \left( x \right)$$= ax ^{2} + 1$ $\displaystyle \int _{0} ^{a} {} e ^{x} f \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{a} {} \left( ax ^{2} + 1 \right) e ^{x} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \left( ax ^{2} + 1 \right) e ^{x} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{a} - \int _{0} ^{a} {} 2 ax e ^{x} dx$ $\displaystyle = \left( a ^{3} + 1 \right) e ^{a} - 1 - \left[ \begin{array}{l} 2 ax e ^{x} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{a} + \int _{0} ^{a} {} 2 a e ^{x} dx$ $\displaystyle = \left( a ^{3} + 1 \right) e ^{a} - 1 - 2 a ^{2} e ^{a} + \left[ \begin{array}{l} 2 a e ^{x} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{a}$ $= \left( a ^{3} - 2 a ^{2} + 2 a + 1 \right) e ^{a} - 2 a - 1$ $me ^{a} - 19$$= \left( a ^{3} - 2 a ^{2} + 2 a + 1 \right) e ^{a} - 2 a - 1$ 따라서 $a$$= 9$이므로 $m$$= a ^{3} - 2 a ^{2} + 2 a + 1$$= 586$