로그함수 접선과 교점

$\displaystyle f' \left( x \right) = \begin{cases} \frac{1 - \ln \left( - x \right)}{x ^{2}} & & \left( x < 0 \right) \\ - 2 x + 2 & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ $\displaystyle f'' \left( x \right) = \begin{cases} \frac{- 3 + 2 \ln \left( - x \right)}{x ^{3}} & & \left( x < 0 \right) \\ - 2 & & \left( x > 0 \right) \end{cases}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} \frac{\ln \left( - x \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{- x} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} \frac{\ln \left( - x \right)}{x} = \infty$ $x < 0$에서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$0 < t < 2$인 $t$에 대하여 곡선 $\displaystyle y = \frac{\ln \left( - x \right)}{x}$와 직선 $y = tx + k$가 접할 때 $k$의 값을 $b$라 하자. $x < 0$에서 곡선 $\displaystyle y = \frac{\ln \left( - x \right)}{x}$와 직선 $y = tx + k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $\displaystyle \begin{cases} k < b \text{일} \text{때} , 0 \\ k = b \text{일} \text{때} , 1 \\ k > b \text{일} \text{때} , 2 \end{cases}$ 이다. 곡선 $y = - x ^{2} + 2 x + a$ 위의 점 $\left( 0 , a \right)$에서 접선의 기울기는 $2$이므로 $k \geq a$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = tx + k$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$이기 위해서는 곡선 $y = - x ^{2} + 2 x + a \left( x \geq 0 \right)$과 직선 $y = tx + k$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $\displaystyle \begin{cases} a \leq k < b \text{일} \text{때} , 2 \\ k = b \text{일} \text{때} , 1 \\ k > b \text{일} \text{때} , 0 \end{cases}$ 이어야 한다. 즉, 직선 $y = tx + b$가 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{\ln \left( - x \right)}{x} \left( x < 0 \right)$, $y = - x ^{2} + 2 x + a \left( x \geq 0 \right)$ 에 동시에 접할 때, $k \geq a$인 모든 실수 $k$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = tx + k$가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$이다.

$x < 0$에서 직선 $y = tx + b$는 곡선 $y = f \left( x \right)$ 위의 점 $\left( g \left( t \right) , f \left( g \left( t \right) \right) \right)$에서의 접선이므로 $f' \left( g \left( t \right) \right) = t$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $x > 0$에서 $f' \left( x \right) = - 2 x + 2 = t$이므로 $\displaystyle f' \left( 1 - \frac{t}{2} \right) = t$ 곡선 $y = - x ^{2} + 2 x + a$ 위의 점 $\displaystyle \left( 1 - \frac{t}{2} , a + 1 - \frac{t ^{2}}{4} \right)$에서의 접선의 방정식은 $y = tx + b$와 같다. 두 점 $\left( g \left( t \right) , f \left( g \left( t \right) \right) \right)$, $\displaystyle \left( 1 - \frac{t}{2} , a + 1 - \frac{t ^{2}}{4} \right)$을 지나는 직선의 기울기가 $t$이므로 $\displaystyle t = \frac{\left( a + 1 - \frac{t ^{2}}{4} \right) - f \left( g \left( t \right) \right)}{\left( 1 - \frac{t}{2} \right) - g \left( t \right)}$ $\displaystyle t - \frac{t ^{2}}{2} - t \times g \left( t \right) = a + 1 - \frac{t ^{2}}{4} - f \left( g \left( t \right) \right)$ $\displaystyle h \left( t \right) = a = f \left( g \left( t \right) \right) - t \times g \left( t \right) - \frac{t ^{2}}{4} + t - 1$ ㉠에 의하여 $h' \left( t \right)$$\displaystyle = f' \left( g \left( t \right) \right) \times g' \left( t \right) - g \left( t \right) - t \times g' \left( t \right) - \frac{t}{2} + 1$ $\displaystyle = t \times g' \left( t \right) - g \left( t \right) - t \times g' \left( t \right) - \frac{t}{2} + 1$ $\displaystyle = - g \left( t \right) - \frac{t}{2} + 1$ $\displaystyle g \left( t \right) + h' \left( t \right) = - \frac{t}{2} + 1$ 따라서 $\displaystyle g \left( 1 \right) + h' \left( 1 \right) = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$ [참고] $f' \left( g \left( 1 \right) \right) = 1$에서 $\displaystyle \frac{1 - \ln \left\{ - g \left( 1 \right) \right\}}{\left\{ g \left( 1 \right) \right\} ^{2}} = 1$ $g \left( 1 \right) = - 1$, $\displaystyle h' \left( 1 \right) = \frac{3}{2}$ [다른 풀이] $x \geq 0$에서 곡선 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = tx + k$의 접점을 $\left( s , - s ^{2} + 2 s + a \right)$라 하면 접선의 방정식은 $y$$= \left( - 2 s + 2 \right) \left( x - s \right) - s ^{2} + 2 s + a$ $= \left( - 2 s + 2 \right) x + s ^{2} + a$ 직선 $y = \left( - 2 s + 2 \right) x + s ^{2} + a$가 직선 $y = tx + b$와 일치하므로 $t = - 2 s + 2$, $b = s ^{2} + a$에서 $h \left( t \right) = a = b - s ^{2}$ $\displaystyle h' \left( t \right) = \frac{da}{dt} = \frac{db}{dt} - 2 s \frac{ds}{dt}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 $\left( g \left( t \right) , f \left( g \left( t \right) \right) \right)$는 직선 $y = tx + b$ 위의 점이므로 $f \left( g \left( t \right) \right) = t \times g \left( t \right) + b$ 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f' \left( g \left( t \right) \right) g' \left( t \right) = g \left( t \right) + t \times g' \left( t \right) + \frac{db}{dt}$ $f' \left( g \left( t \right) \right) = t$이므로 $\displaystyle \frac{db}{dt} = - g \left( t \right)$ $\displaystyle g \left( t \right) = - \frac{db}{dt}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle g \left( t \right) + h' \left( t \right) = - 2 s \frac{ds}{dt}$ $x > 0$일 때, 직선 $y = tx + b$가 곡선 $y = - x ^{2} + 2 x + a$와 점 $\left( s , - s ^{2} + 2 s + a \right)$에서 접하므로 $t = - 2 s + 2$에서 $\displaystyle s = 1 - \frac{t}{2}$이고 $\displaystyle \frac{ds}{dt} = - \frac{1}{2}$이므로 $t = 1$일 때, $\displaystyle s = \frac{1}{2}$ 따라서 $g \left( t \right) + h' \left( t \right)$$\displaystyle = - 2 s \frac{ds}{dt}$$\displaystyle = - 2 \times \frac{1}{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$