대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그함수 교점 합

문제

좌표평면에서 자연수 nn에 대하여 두 곡선 y=log⁡2xy = \log _{2} x, y=log⁡2(2n−x)y = \log _{2} ( 2 ^{n} - x )가 만나는 점의 xx좌표를 ana _{n}이라 할 때, ∑n=15an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} a _{n}의 값은? [3점] ①3131②3232③3333④3434⑤3535

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①

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 두 로그함수의 그래프가 만나는 점을 구한다. 두 곡선 y=log⁡2xy = \log _{2} x, y=log⁡2(2n−x)y = \log _{2} ( 2 ^{n} - x )의 만나는 점의 xx좌표는 log⁡2x=log⁡2(2n−x)\log _{2} x = \log _{2} ( 2 ^{n} - x )에서 x=2n−xx = 2 ^{n} - x 즉, x=2n−1x = 2 ^{n - 1}이므로 an=2n−1a _{n} = 2 ^{n - 1} 따라서 ∑n=15an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{5} a _{n}=∑n=152n−1\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{5} 2 ^{n - 1} =1+2+4+8+16= 1 + 2 + 4 + 8 + 16=31= 31

태그

#로그함수#등비수열

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