대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

그림과 같이 11보다 큰 실수 kk에 대하여 두 곡선 yy=log⁡2∣kx∣= \log _{2} \left| kx \right|와 yy=log⁡2(x+4)= \log _{2} \left( x + 4 \right)가 만나는 서로 다른 두 점을 A,B\mathrm{A} , B라 하고, 점 B\mathrm{B}를 지나는 곡선 yy=log⁡2(−x+m)= \log _{2} \left( - x + m \right)이 곡선 yy=log⁡2∣kx∣= \log _{2} \left| kx \right|와 만나는 점 중 B\mathrm{B}가 아닌 점을 C\mathrm{C}라 하자. 세 점 A,B,C\mathrm{A} , B , C의 xx좌표를 각각 x1,x2,x3x _{1} , x _{2} , x _{3}이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, x1<x2x _{1} < x _{2}이고, mm은 실수이다.) [4점]

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ㄱ. x2x _{2}=−2x1= \mathit{-} 2 x _{1}이면 k=3k = 3이다. ㄴ. x22x _{2} ^{2}=x1x3= x _{1} x _{3} ㄷ. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기와 직선 AC\mathrm{AC}의 기울기의 합이 00일 때, m+k2m + k ^{2}=19= 19이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 추론하기 ㄱ. log⁡2∣kx1∣=log⁡2(x1+4)\log _{2} \left| kx _{1} \right| = \log _{2} ( x _{1} + 4 )에서 x1<0x _{1} < 0이므로 −kx1=x1+4,x1=−4k+1\displaystyle - kx _{1} = x _{1} + 4 , x _{1} = \frac{- 4}{k + 1} log⁡2∣kx2∣=log⁡2(x2+4)\log _{2} \left| kx _{2} \right| = \log _{2} ( x _{2} + 4 )에서 x2>0x _{2} > 0이므로 kx2=x2+4,x2=4k−1\displaystyle kx _{2} = x _{2} + 4 , x _{2} = \frac{4}{k - 1} x2=−2x1x _{2} = - 2 x _{1}에서 4k−1=8k+1\displaystyle \frac{4}{k - 1} = \frac{8}{k + 1}, k+1=2k−2,k=3k + 1 = 2 k - 2 , k = 3 (참) ㄴ. log⁡2∣kx2∣=log⁡2(−x2+m)\log _{2} \left| kx _{2} \right| = \log _{2} ( - x _{2} + m )에서 x2>0x _{2} > 0이므로 kx2=−x2+mkx _{2} = - x _{2} + m, m=(k+1)x2=4(k+1)k−1\displaystyle m = ( k + 1 ) x _{2} = \frac{4 ( k + 1 )}{k - 1} log⁡2∣kx3∣=log⁡2(−x3+m)\log _{2} \left| kx _{3} \right| = \log _{2} ( - x _{3} + m )에서 x3<0x _{3} < 0이므로 −kx3=−x3+m- kx _{3} = - x _{3} + m, x3x _{3}=−mk−1\displaystyle = \frac{- m}{k - 1}=−4(k+1)(k−1)2\displaystyle = \frac{- 4 ( k + 1 )}{( k - 1 ) ^{2}} 그러므로 x1x3x _{1} x _{3}=−4k+1×−4(k+1)(k−1)2\displaystyle = \frac{- 4}{k + 1} \times \frac{- 4 ( k + 1 )}{( k - 1 ) ^{2}}=(4k−1)2\displaystyle = \left( \frac{4}{k - 1} \right) ^{2}=x22= x _{2} ^{2} (참) ㄷ. x22=x1x3x _{2} ^{2} = x _{1} x _{3}에서 x2x1=x3x2\displaystyle \frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{x _{3}}{x _{2}} x2x1=−k−1k−1=−1−2k−1<−1\displaystyle \frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{- k - 1}{k - 1} = - 1 - \frac{2}{k - 1} < - 1 x2x1=r(r<−1)\displaystyle \frac{x _{2}}{x _{1}} = r ( r < - 1 )이라 하면 x2=x1r,x3=x1r2x _{2} = x _{1} r , x _{3} = x _{1} r ^{2} 세 점 A,B,C\mathrm{A , B , C}의 yy좌표를 각각 y1,y2,y3y _{1} , y _{2} , y _{3}이라 하면 두 직선 AB,AC\mathrm{AB , AC}의 기울기의 합이 00이므로 y2−y1x2−x1+y3−y1x3−x1\displaystyle \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} + \frac{y _{3} - y _{1}}{x _{3} - x _{1}} =log⁡2∣kx2∣−log⁡2∣kx1∣x1(r−1)+log⁡2∣kx3∣−log⁡2∣kx1∣x1(r2−1)\displaystyle = \frac{\log _{2} \left| kx _{2} \right| - \log _{2} \left| kx _{1} \right|}{x _{1} ( r - 1 )} + \frac{\log _{2} \left| kx _{3} \right| - \log _{2} \left| kx _{1} \right|}{x _{1} ( r ^{2} - 1 )} =log⁡2∣x2x1∣x1(r−1)+log⁡2∣x3x1∣x1(r2−1)\displaystyle = \frac{\log _{2} \left| \frac{x _{2}}{x _{1}} \right|}{x _{1} ( r - 1 )} + \frac{\log _{2} \left| \frac{x _{3}}{x _{1}} \right|}{x _{1} ( r ^{2} - 1 )} =log⁡2(−r)x1(r−1)+2log⁡2(−r)x1(r2−1)\displaystyle = \frac{\log _{2} ( - r )}{x _{1} ( r - 1 )} + \frac{2 \log _{2} ( - r )}{x _{1} ( r ^{2} - 1 )}=0= 0 에서 1+2r+1=0,r=−3\displaystyle 1 + \frac{2}{r + 1} = 0 , r = - 3 x2=x1rx _{2} = x _{1} r에서 4k−1=12k+1\displaystyle \frac{4}{k - 1} = \frac{12}{k + 1}, k+1=3k−3k + 1 = 3 k - 3, k=2k = 2이고, m=4(k+1)k−1=12\displaystyle m = \frac{4 ( k + 1 )}{k - 1} = 12이므로 m+k2=16m + k ^{2} = 16 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

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