로그함수 그래프 선분

그림과 같이 곡선 $y = \left| \log _{2} x \right|$와 직선 $y = x$가 있다. 직선 $x = a$($a > 1$)이 곡선 $y = \left| \log _{2} x \right|$와 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $y = x$와 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = \left| \log _{2} x \right|$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하고, 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y = \left| \log _{2} x \right|$와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = \frac{15}{4}$일 때, 선분 $\mathrm{CA}$의 길이는? [4점]

$y = \left| \log _{2} x \right|$

①$\displaystyle \frac{9}{8}$②$\displaystyle \frac{5}{4}$③$\displaystyle \frac{11}{8}$④$\displaystyle \frac{3}{2}$⑤$\displaystyle \frac{13}{8}$