로그곡선과 원

원의 중심을 $\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{5}{4} , 0 \right)$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \overline{CQ} = \frac{\sqrt{13}}{4}$이다. $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha , \beta$라 하자. 위의 그림에서 빗금친 두 삼각형이 합동임을 이용하면 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{5}{4}$ $\cdots \text{㉠}$ $\log _{a} \alpha + \log _{a} \beta = 0$ 즉, $\alpha \beta = 1$ $\cdots \text{㉡}$ 이다. ㉠과 ㉡을 연립하면 $\alpha = 2$임을 알 수 있다. 한편 원의 반지름 길이에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{CP} = \frac{\sqrt{13}}{4}}$이고 피타고라스 정리를 이용하여 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하면 $\mathrm{P}$$\displaystyle \left( 2 , \frac{1}{2} \right)$이다. 점 $\mathrm{P}$는 $y = \log _{a} x$위의 점이므로 대입하면 $\displaystyle \frac{1}{2} = \log _{a} 2$ 즉, $a = 4$이다.