로그곡선과 삼각형 넓이 보기

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제 추론하기 ㄱ. $t = 1$일 때, $\mathrm{P} \left( 2 , 1 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 4 , 1 \right)$이므로 $\displaystyle S \left( 1 \right) = \frac{1}{2} \times \left( 4 - 2 \right) \times 1 = 1$ (참) ㄴ. $t = 2$일 때, $\mathrm{P} \left( 4 , 2 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 16 , 2 \right)$이므로 $\displaystyle S \left( 2 \right) = \frac{1}{2} \times \left( 16 - 4 \right) \times 2 = 12$ $t = \mathit{-} 2$일 때, $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{4} , - 2 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{1}{16} , - 2 \right)$이므로 $\displaystyle S \left( - 2 \right) = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \times 2 = \frac{3}{16}$ 따라서 $S \left( 2 \right) = 64 \times S \left( - 2 \right)$ (참) ㄷ. $0$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 $\mathrm{P} \left( 2 ^{\mathit{t}} , t \right)$, $\mathrm{Q} \left( 4 ^{\mathit{t}} , t \right)$이다. $t > 0$일 때 $2 ^{t} < 4 ^{t}$이므로 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{1}{2} \times t \times \left( 4 ^{t} - 2 ^{t} \right) = \frac{t}{2} \left( 4 ^{t} - 2 ^{t} \right)$ $\displaystyle S \left( - t \right) = \mathit{-} \frac{t}{2} \left( 4 ^{- t} - 2 ^{- t} \right)$ 따라서 $\displaystyle \frac{S \left( t \right)}{S \left( - t \right)} = \frac{4 ^{t} - 2 ^{t}}{2 ^{- t} - 4 ^{- t}} = \frac{2 ^{t} \left( 2 ^{t} - 1 \right)}{4 ^{- t} \left( 2 ^{t} - 1 \right)} = 8 ^{t}$이므로, $t$의 값이 증가하면 $\displaystyle \frac{S \left( t \right)}{S \left( - t \right)}$의 값도 증가한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.