대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그곡선과 삼각형

문제

그림과 같이 두 곡선 $y = \log _{2} x$ , $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} x$ 가 만나는 점을 $\mathrm{A}$ 라 하고, 직선 $x = k$ $\left( k > 1 \right)$ 이 두 곡선과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 무게중심의 좌표가 $\left( 3 , 0 \right)$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 넓이를 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해한다. $\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)$ , $\mathrm{B} \mathit{\left( k , \log _{2} k \right)}$ , $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( k , \log _{\frac{1}{2}} k \right)}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{A} CB$ 의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 k + 1}{3} , 0 \right)$ 이고 $\displaystyle \frac{2 k + 1}{3} = 3$ 에서 $k = 4$ 따라서 $\mathrm{B} \mathit{\left( 4 , 2 \right)}$ , $\mathrm{C} \mathit{\left( 4 , - 2 \right)}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{A} CB$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$

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