로그곡선과 지수곡선 대칭

[출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 점의 좌표를 구하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , b \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{B}$라 하면 $\mathrm{B} \left( \mathit{b} , a \right)$이다. 조건 (가)에서 점 $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , b \right)$가 곡선 $y = \log _{2} \left( x + 2 \right) + k$ 위의 점이므로 $b$$= \log _{2} \left( a + 2 \right) + k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 점 $\mathrm{B} \left( \mathit{b} , a \right)$가 곡선 $y = 4 ^{x + k} + 2$ 위의 점이므로 $a$$= 4 ^{b + k} + 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠에서 $b - k$$= \log _{2} \left( a + 2 \right)$, $2 ^{b - k}$$= a + 2$ $a$$= 2 ^{b - k} - 2$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 정리하면 $4 ^{b + k} + 2$$= 2 ^{b - k} - 2$ $4 ^{k} \times 4 ^{b} - 2 ^{- k} \times 2 ^{b} + 4 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{A}$가 오직 하나이므로 방정식 ㉣을 만족시키는 실수 $b$는 오직 하나이고 $2 ^{b} = t$($t > 0$)으로 놓으면 $t$에 대한 이차방정식 $4 ^{k} t ^{2} - 2 ^{- k} t + 4 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉤ 은 오직 하나의 양의 실근을 갖는다. $t$에 대한 이차방정식 ㉤의 두 근의 곱은 $\displaystyle \frac{4}{4 ^{k}}$$= 4 ^{1 - k}$$> 0$이므로 $t$에 대한 이차방정식 ㉤이 오직 하나의 양의 실근을 가지려면 ㉤의 판별식을 $D$라 할 때 $D = 0$이어야 한다. $D$$= \left( - 2 ^{- k} \right) ^{2} - 4 \times 4 ^{k} \times 4$$= 4 ^{- k} - 16 \times 4 ^{k}$$= 0$ 위의 방정식의 양변에 $4 ^{k}$을 곱하여 정리하면 $2 ^{4 k + 4} = 1$, $k = \mathit{-} 1$ ㉤에 대입하여 정리하면 $\displaystyle \frac{1}{4} t ^{2} - 2 t + 4 = 0$, $\displaystyle \frac{1}{4} \left( t - 4 \right) ^{2} = 0$ $t = 4$ 즉, $2 ^{b} = 4$에서 $b = 2$이다. $k = \mathit{-} 1$, $b = 2$를 ㉡에 대입하여 정리하면 $a$$= 4 ^{2 + \left( - 1 \right)} + 2$$= 6$ 따라서 $a {\times} b$$= 6 \times 2$$= 12$