대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그곡선과 직선 교점

문제

두 점 (1,0),(0,−m)( 1 , 0 ) , ( 0 , - m )을 지나는 직선이 두 곡선 y=2log⁡xy = 2 \log x, y=3log⁡xy = 3 \log x와 각각 두 점에서 만날 때, (1,0)( 1 , 0 )이 아닌 교점을 각각 (p,2log⁡p),(q,3log⁡q)( p , 2 \log p ) , ( q , 3 \log q )라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, m>0,p>1,q>1m > 0 , p > 1 , q > 1이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. p>qp > q ㄴ. m=3log⁡q−2log⁡pq−p\displaystyle m = \frac{3 \log q - 2 \log p}{q - p} ㄷ. m>3log⁡qq\displaystyle m > \frac{3 \log q}{q}

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. (거짓) 문제의 조건들을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

∴ p<qp < q ㄴ. (참) 두 점 (1, 0), (0,−m- m)을 지나는 직선은 y=m(x−1)y = m ( x - 1 )이고, (pp, 2log⁡p2 \log p)와 (qq, 3log⁡q3 \log q)는 이 직선 위의 점이므로 다음 식이 성립한다. 2log⁡p=m(p−1)2 \log p = m ( p - 1 ) ㉠ 3log⁡q=m(q−1)3 \log q = m ( q - 1 ) ㉡ ㉡-㉠을 하면 3log⁡q−2log⁡p=m(q−p)3 \log q - 2 \log p = m ( q - p ) ∴ m=3log⁡q−2log⁡pq−p\displaystyle m = \frac{3 \log q - 2 \log p}{q - p} ㄷ. (참)3log⁡qq\displaystyle \frac{3 \log q}{q}는 원점과 점 (qq, 3log⁡q3 \log q)를 지나는 직선의 기울기이다. 이는 위의 그림에서 (1, 0)과 (0,−m- m)을 지나는 직선의 기울기 mm보다 작다.

태그

#로그함수#기울기#보기

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