대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 삼각형 넓이비

문제

그림과 같이 두 점 A(a,0),B(b,0)A ( a , 0 ) , B ( b , 0 )을 각각 지나고 xx축에 수직인 두 직선이 곡선 y=log⁡5xy = \log _{5} x와 만나는 점을 각각 CC, DD라 하고, 선분 CDCD와 xx축이 만나는 점을 EE라 하자. 삼각형 ACEACE의 넓이를 S1S _{1}, 삼각형 BDEBDE의 넓이를 S2S _{2}라 하자. S1:S2=4:9S _{1} : S _{2} = 4 : 9일 때, log⁡ab\log _{a} b의 값은? (단, 0<a<1<b0 < a < 1 < b) [3점]

①−94\displaystyle - \frac{9}{4}②−32\displaystyle - \frac{3}{2}③−23\displaystyle - \frac{2}{3}④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤−49\displaystyle - \frac{4}{9}

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②

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해설

[출제의도] 이해능력-지수함수와 로그함수 두 삼각형 ACE,BDEACE , BDE는 닮음이고 S1:S2=4:9S _{1} : S _{2} = 4 : 9이므로 닮음비는 AC‾:BD‾=2:3\displaystyle {\overline{AC}} : {\overline{BD}} = 2 : 3, 3AC‾=2BD‾\displaystyle 3 {\overline{AC}} = 2 {\overline{BD}} AC‾=−log⁡5a,BD‾=log⁡5b\displaystyle {\overline{AC}} = - \log _{5} a , {\overline{BD}} = \log _{5} b이므로 −3log⁡5a=2log⁡5b- 3 \log _{5} a = 2 \log _{5} b 3log⁡5a+2log⁡5b=log⁡5a3b2=03 \log _{5} a + 2 \log _{5} b = \log _{5} a ^{3} b ^{2} = 0 a3b2=1a ^{3} b ^{2} = 1에서 b2=1a3=a−3\displaystyle b ^{2} = \frac{1}{a ^{3}} = a ^{- 3}이므로 b=a−32\displaystyle b = a ^{- \frac{3}{2}} 따라서 log⁡ab=log⁡aa−32=−32\displaystyle \log _{a} b = \log _{a} a ^{- \frac{3}{2}} = - \frac{3}{2}

태그

#로그함수#넓이비#그래프

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