대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그곡선 삼각형 넓이

문제

두 곡선 $y = \log _{2} x$ , $y = \log _{a} x$ $\left( 0 < a < 1 \right)$ 이 $x$ 축 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서 만난다. 직선 $x = 4$ 가 곡선 $y = \log _{2} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{B}$ , 곡선 $y = \log _{a} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $\displaystyle \frac{9}{2}$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{16}$ ② $\displaystyle \frac{1}{8}$ ③ $\displaystyle \frac{3}{16}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{4}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{16}$

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④

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해설

$\mathrm{A} ( 1 , 0 )$ , $\mathrm{B} ( 4 , 2 )$ , ${\mathrm{C}} ( 4 , \log _{a} 4 )$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times ( 4 - 1 ) \times ( 2 - \log _{a} 4 ) = \frac{9}{2}$ $\log _{a} 4 = - 1$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{4}$

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