로그곡선 삼각형 넓이

조건 (가)에 의하여 삼각형 $\mathrm{ADB}$의 넓이를 $S$라 하면 삼각형 $\mathrm{BDC}$의 넓이는 $3 S$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BC}} = 1 : 3$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 3 \overline{\mathrm{AB}}$이고 점 $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}'$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}' E} = 3 \overline{\mathrm{AB}'}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}'} = a$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}' E} = 3 a$이므로 ${\mathrm{B}} ( a + 1 , \log _{3k} ( a + 1 ) )$, ${\mathrm{C}} ( 4 a + 1 , \log _{k} ( 4 a + 1 ) )$, ${\mathrm{D}} ( 4 a + 1 , \log _{3k} ( 4 a + 1 ) )$ 이다.

조건 (나)에 의하여 삼각형 $\mathrm{AED}$의 넓이는 $4 S$이고 삼각형 $\mathrm{AEC}$의 넓이는 $8 S$이므로 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{CE}$의 중점이다. $\log _{k} ( 4 a + 1 ) = 2 \log _{3k} ( 4 a + 1 )$ $\displaystyle \frac{\log _{k} ( 4 a + 1 )}{\log _{k} k} = \frac{2 \log _{k} ( 4 a + 1 )}{\log _{k} 3 k}$ $\log _{k} 3 k = 2$에서 $k ^{2} = 3 k$이므로 $k = 3$ 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 직선 $y = m ( x - 1 )$ 위에 있으므로 $\displaystyle m = \frac{\log _{9} ( a + 1 ) - 0}{( a + 1 ) - 1} = \frac{\log _{3} ( 4 a + 1 ) - 0}{( 4 a + 1 ) - 1}$에서 $2 \log _{3} ( a + 1 ) = \log _{3} ( 4 a + 1 )$ $( a + 1 ) ^{2} = 4 a + 1$ $a ^{2} - 2 a = 0$ $a > 0$이므로 $a = 2$ $\displaystyle m = \frac{\log _{9} 3}{2} = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle \frac{k}{m} = 12$