대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그곡선 사각형 넓이

문제

그림과 같이 곡선 $y = \ln x$ 위의 두 점 $A ( a , \ln a )$ , $B ( 2 a , \ln 2 a )$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $C$ , $D$ 라 하고, $y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $E$ , $F$ 라 하자. 사각형 $ACDB$ 의 넓이가 사각형 $ABFE$ 의 넓이의 2배일 때, 상수 $a$ 의 값은? (단, $a > 1$ ) [3점]

① $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ②3③4④ $\displaystyle 3 \sqrt{2}$ ⑤ $\displaystyle 4 \sqrt{2}$

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⑤

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해설

[출제의도] 이해능력-지수함수와 로그함수

사각형 $ABCD$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ( \ln a + \ln 2 a ) \times a = \frac{a}{2} \ln 2 a ^{2}$ 사각형 $ABFE$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ( a + 2 a ) \times ( \ln 2 a - \ln a ) = \frac{3 a}{2} \ln 2$ 이때 $\displaystyle \frac{a}{2} \ln 2 a ^{2} = 2 \times \frac{3 a}{2} \ln 2$ 이므로 $\ln 2 a ^{2} = 6 \ln 2 = \ln 2 ^{6}$ $2 a ^{2} = 2 ^{6}$ 에서 $a ^{2} = 2 ^{5} = 32$ 따라서 $\displaystyle a = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

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