로그곡선 평행이동

곡선 $y = \log _{2} x$를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 곡선은 곡선 $y = \log _{2} \left( x - a \right)$와 일치하므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = a$이다. 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표를 $t \left( t > a \right)$라 하면 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 좌표는 각각 $\left( t , \log _{2} \left( t - a \right) \right)$, $\left( t , \log _{2} t \right)$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 $\log _{2} t - \log _{2} \left( t - a \right) = a$ $\displaystyle \log _{2} \frac{t}{t - a} = a$ $\displaystyle \frac{t}{t - a} = 2 ^{a}$ $\displaystyle t = \frac{a \times 2 ^{a}}{2 ^{a} - 1}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{a \times 2 ^{a}}{2 ^{a} - 1}$이고, $\displaystyle \frac{f \left( a \right)}{a} = \frac{2 ^{a}}{2 ^{a} - 1}$이므로 $\displaystyle \frac{f \left( a \right)}{a} \leq \frac{64}{63}$ $\displaystyle \frac{2 ^{a}}{2 ^{a} - 1} \leq \frac{64}{63}$ $2 ^{a} \geq 2 ^{6}$ 이다. 따라서 $a \geq 6$이므로 $a$의 최솟값은 $6$이다.