로그곡선 넓이 합

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구한다. $\displaystyle \log _{5} \frac{x}{5} = \log _{5} x - \log _{5} 5$$= \log _{5} x - 1$이므로 주어진 함수 $\displaystyle y = \log _{5} \frac{x}{5}$는 $y = \log _{5} x - 1$이다. 이 함수의 그래프는 $y = \log _{5} x$를 $y$축 방향으로 $- 1$만큼 평행이동 시킨 것이다.

로그함수 $y = \log _{5} x - 1$의 그래프와 선분 $\mathrm{BD}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $U$라 하자. 그림에서와 같이 선분 $\mathrm{BD}$를 연결하면 넓이 $T$는 평행사변형 $\mathrm{ABDC}$에서 $U$를 뺀 것이다. 즉 $T = 2 \triangle {\mathrm{A} DC} - U$ $\cdots$㉠ 그런데 로그함수 $y = \log _{5} x$의 그래프와 선분 $\mathrm{AC}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 로그함수 $y = \log _{5} x - 1$의 그래프와 선분 $\mathrm{BD}$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 $U$이다. 즉 $S = \triangle {\mathrm{A} DC} + U$ $\cdots$㉡ ㉠$+$㉡을 계산하면 $S + T = 3 \triangle \mathrm{A} DC$ 삼각형 $\mathrm{A} DC$는 밑변이 4, 높이가 1인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \triangle \mathrm{A} DC = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$ 따라서 $S + T = 3 \times 2 = 6$ [다른풀이] $\displaystyle \log _{5} \frac{x}{5} = \log _{5} x - \log _{5} 5$$= \log _{5} x - 1$이므로 주어진 함수 $\displaystyle y = \log _{5} \frac{x}{5}$는 $y = \log _{5} x - 1$이다. 그러므로 $\displaystyle y = \log _{5} \frac{x}{5}$의 그래프를 $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동 시키면 $y = \log _{5} x$의 그래프와 일치한다. 점 $\mathrm{A}$, 점 $\mathrm{C}$를 $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동 시킨 점을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{C}'$이라 하면 넓이 $T$는 $y = \log _{5} x$의 그래프와 세 선분 $\mathrm{A} A'$, $\mathrm{A}' C'$, $\mathrm{C}' C$로 둘러싸인 넓이와 같다. 그러므로 넓이의 합 $S + T$는 사다리꼴 $\mathrm{A}' ADC'$의 넓이와 같다. $\displaystyle S + T = \frac{1}{2} ( \mathrm{\overline{A' A}} + \overline{C' D} ) \overline{AD}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( 1 + 2 ) \times 4$$= 6$