로그곡선 넓이

[출제의도] 정적분과 접선의 기울기를 활용하여 문제해결하기 $f ( x ) = k \ln x$라 하자.

접점의 좌표를 $\mathrm{P} \left( \mathit{p} , p \right)$라 하면 $f \left( p \right) = k \ln p = p$ … ㉠ $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{k}{x}$이므로 $\displaystyle f' \left( p \right) = \frac{k}{p} = 1$ … ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $p = e$, $k = e$ $f \left( x \right) = e \ln x$ 구하고자 하는 넓이 $S$는 $S =$(삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이)-$\displaystyle \int _{1} ^{e} {f \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{2} - \int _{1} ^{e} {e \ln xdx}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{2} - e \left[ x \ln x - x \right] _{1} ^{e}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{2} - e \left( e \ln e - e + 1 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} e ^{2} - e$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$, $b = 1$이므로 $100 ab = 50$