로그곡선 중점 외분점

[출제의도] 로그함수 문제 해결하기 두 양수 $a , b$에 대하여 $\mathrm{A} \mathit{\left( a , \log _{2} a \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( b , \log _{2} b \right)}$라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} , \frac{\log _{2} a + \log _{2} b}{2} \right)$가 $x$축 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} a + \log _{2} b}{2} = 0$이다. 따라서 $\log _{2} ab$$= 0$이고 $ab = 1$이다. 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 외분하는 점 $\displaystyle \left( \frac{b - 2 a}{1 - 2} , \frac{\log _{2} b - 2 \log _{2} a}{1 - 2} \right)$가 $y$축 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{b - 2 a}{1 - 2}$$= 0$이고 $b = 2 a$이다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle b = \sqrt{2}$이고 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} , - \frac{1}{2} \right)}$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( \sqrt{2} , \frac{1}{2} \right)}$이다. 그러므로 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$이다.