로그곡선 직사각형 급수

두 곡선 $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{4}} ( - x )$, $\displaystyle y = \log _{\frac{1}{4}} x$가 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 $x$축 위에 있는 직사각형의 넓이를 $S _{1}$이라 하자. 두 곡선이 직선 $y = 1$과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 위에 있는 직사각형의 넓이를 $S _{2}$라 하자. 두 곡선이 직선 $\displaystyle y = \frac{3}{2}$과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 $y = 1$ 위에 있는 직사각형의 넓이를 $S _{3}$이라 하자. 위와 같은 과정을 계속하여 얻은 $n$번째 직사각형의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [3점]

①$\displaystyle \frac{5}{8}$②$\displaystyle \frac{3}{4}$③$\displaystyle \frac{7}{8}$④$1$⑤$\displaystyle \frac{9}{8}$