로그곡선 교점의 합

$f \left( x \right) = \left| \log _{2} \left( x - k \right) \right|$이므로 $\left| \log _{2} \left( x - k \right) \right| = \left| \log _{2} \left( - x + 8 \right) \right|$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅰ) $\log _{2} \left( x - k \right) = \log _{2} \left( - x + 8 \right)$일 때, $x - k = \mathit{-} x + 8$ $\therefore$$\displaystyle x = \frac{k + 8}{2}$ (ⅱ) $\log _{2} \left( x - k \right) = \mathit{-} \log _{2} \left( - x + 8 \right)$일 때, $\log _{2} \left( x - k \right) \left( - x + 8 \right) = 0$ $- x ^{2} + \left( k + 8 \right) x - 8 k = 1$ $x ^{2} - \left( k + 8 \right) x + 8 k - 1 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 곡선 $y = f \left( x \right)$와 곡선 $y = \left| \log _{2} \left( - x + 8 \right) \right|$이 세 점에서 만나기 위해서는 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 이차방정식 ㉡이 서로 다른 두 실근을 갖는다. 이 두 실근을 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = k + 8$ (ⅰ), (ⅱ)에서 세 실근의 합이 $18$을 만족해야 하므로 $\displaystyle \frac{k + 8}{2} + \left( k + 8 \right) = 18$, $k + 8 = 12$ $\therefore$$k = 4$ [다른 풀이] $f \left( x \right) = \left| \log _{2} \left( x - k \right) \right|$이므로 $y = \left| \log _{2} \left( - x + 8 \right) \right|$과 $\displaystyle x = \frac{k + 8}{2}$에 대하여 대칭이다. 곡선 $y = f \left( x \right)$와 곡선 $y = \left| \log _{2} \left( - x + 8 \right) \right|$이 세 점에서 만나므로 교점의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$)라 하면 $\displaystyle \beta = \frac{k + 8}{2}$, $\displaystyle \frac{\alpha + \gamma}{2} = k + 8$ 을 만족한다. 따라서 $\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2} \left( k + 8 \right) = 18$, $k + 8 = 12$ $\therefore$$k = 4$