로그곡선 볼록성 증명

다음은 곡선 $y = \log _{2} x$위의 두 점 $\mathrm{P} , Q$의 $x$좌표를 각각 $p , q$라 할 때, $\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$이면 $\displaystyle \frac{\log _{2} p}{p} + \frac{\log _{2} q}{q} \leq 1$임을 증명한 것이다. $pq =$(가) 이므로 $\displaystyle \frac{\log _{2} p}{p} + \frac{\log _{2} q}{q} = \frac{q \log _{2} p + p \log _{2} q}{pq}$ $\displaystyle = \frac{q \log _{2} p + p \log _{2} q}{{\square {( \text{가} )}}} \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$ 를 $p : q$로 내분하는 점을 $\mathrm{R} ( x _{0} , y _{0} )$라 하면 $x _{0} =$(나) , $\displaystyle y _{0} = \frac{q \log _{2} p + p \log _{2} q}{p + q} \cdots \text{㉡}$ 그런데 곡선 $y = \log _{2} x$는 (다) 이므로 $y _{0} \leq \log _{2} x _{0}$ 이다.

따라서 ㉠, ㉡ 에서 $\displaystyle \frac{\log _{2} p}{p} + \frac{\log _{2} q}{q} \leq 1$

<증명>

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [3점] $\left( \mathbf{\text{가}} \right)$ $\left( \mathbf{\text{나}} \right)$ $\left( \mathbf{\text{다}} \right)$ ①$p + q$ $2$ 위로 볼록②$- p - q$ $3$ 위로 볼록③$p + q$ $3$ 위로 볼록④$- p - q$ $2$ 아래로 볼록⑤$p + q$ $3$ 아래로 볼록