로그값이 정수인 조건

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 모든 자연수를 찾을 수 있는가? $\displaystyle 4 \log _{64} \left( \frac{3}{4 n + 16} \right)$$\displaystyle = \log _{8} \left( \frac{3}{4 n + 16} \right) ^{2}$ 이므로 이 값이 정수가 되려면 $\displaystyle \left( \frac{3}{4 n + 16} \right) ^{2}$$= 8 ^{m}$ ($m$은 정수) $\cdots \cdots$ ㉠ 의 꼴이 되어야 한다. 그러려면 우선 $4 n + 16$이 $3$의 배수가 되어야 하므로 $n$$= 3 k - 1$ ($k$는 $1 \leq k \leq 333$인 자연수) 이어야 한다. 이때 ㉠에서 $\displaystyle \left( \frac{1}{4 k + 4} \right) ^{2}$$= 2 ^{3 m}$ $16 \left( k + 1 \right) ^{2}$$= 2 ^{- 3 m}$ $\left( k + 1 \right) ^{2}$$= 2 ^{- 3 m - 4}$ 이어야 하므로 $\left( k + 1 \right) ^{2}$$= 2 ^{2}$, $2 ^{8}$, $2 ^{14}$ $k + 1$$= 2$, $2 ^{4}$, $2 ^{7}$ $k$$= 1$ 또는 $k$$= 15$ 또는 $k$$= 127$ 즉, $n$$= 2$ 또는 $n$$= 44$ 또는 $n$$= 380$이므로 조건을 만족시키는 모든 $n$의 값의 합은 $2 + 44 + 380$$= 426$