로그값 수열의 합

[출제의도] 로그와 시그마의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기 $a ^{\log _{5} 16} = 16 ^{\log _{5} a} = 2 ^{4 \log _{5} a}$이므로 $2 ^{4 \log _{5} a} = 2 , 2 ^{2} , 2 ^{3} , \cdots$ $\displaystyle \log _{5} a = \frac{1}{4} , \frac{2}{4} , \frac{3}{4} , \cdots$ $\displaystyle a _{1} = 5 ^{\frac{1}{4}} , a _{2} = 5 ^{\frac{2}{4}} , a _{3} = 5 ^{\frac{3}{4}} , \cdots$ 따라서 $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k = 1} ^{40} \log _{5} a _{k} & = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{40}{4} \end{aligned}$$\displaystyle = \frac{1}{4} \cdot \frac{40 ( 40 + 1 )}{2} = 205$