로그값 자연수 x 개수

[출제의도] 로그의 정의와 이차함수의 성질을 활용하여 자연수의 개수 구하는 문제를 해결한다. $f ( x )$$= - x ^{2} + ax + 4$라 하면 로그의 진수 조건에 의해 $f ( x ) > 0$ $f ( x )$$= - x ^{2} + ax + 4$ $\displaystyle = - \left( x ^{2} - ax + \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{4} \right) + 4$ $\displaystyle = - \left( x - \frac{a}{2} \right) ^{2} + \frac{a ^{2}}{4} + 4$ $\log _{2} \left( - x ^{2} + ax + 4 \right)$의 값이 자연수가 되는 실수 $x$의 개수가 $6$이므로 $y$$= f ( x )$의 그래프는 아래 그림과 같이 $y$$= 2 ^{1}$, $y$$= 2 ^{2}$, $y$$= 2 ^{3}$과 각각 $2$개의 점에서 만나고 $y$$= 2 ^{n}$ ($n \geq 4$)와는 만나지 않는다. 즉, $\displaystyle 2 ^{3} < \frac{a ^{2}}{4} + 4 < 2 ^{4}$ $16 < a ^{2} < 48$이고, $a$가 자연수이므로 $a$$= 5$, $6$ 따라서 $5 \times 6$$= 30$