로그방정식 조건에서 절댓값 차의 최솟값

주어진 로그 등식에서 $\displaystyle x + \sqrt{2} y > 0$, $\displaystyle x - \sqrt{2} y > 0$, $x ^{2} - 2 y ^{2} = 4$ 이므로 $| x | > | y |$이다. $| x | = X$, $| y | = Y$라 하면 $X ^{2} - 2 Y ^{2} = 4$, $X - Y = k$ 에서 $X ^{2} - 2 ( X - k ) ^{2} = 4$, $X ^{2} - 4 kX + 2 k ^{2} + 4 = 0$ $D / 4 = 4 k ^{2} - 2 k ^{2} - 4 = 2 k ^{2} - 4 \geq 0$, $\displaystyle k \geq \sqrt{2}$ $\displaystyle k = \sqrt{2}$일 때 $\displaystyle X = 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle Y = \sqrt{2}$이다. 따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다.