대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그방정식 해 존재

문제

xx에 대한 방정식 (log⁡2x)(log⁡216x)=m16\displaystyle \left( \log _{2} x \right) \left( \log _{2} \frac{16}{x} \right) = \frac{m}{16}의 해가 존재하도록 실수 mm의 값의 범위를 정할 때, mm의 최대값을 구하시오. [3점]

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64

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해설

[출제의도] 로그방정식이 실근을 가질 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. log⁡2x=t\log _{2} x = t라 하면 log⁡216x=4−t\displaystyle \log _{2} \frac{16}{x} = 4 - t이므로 t(4−t)=m16\displaystyle t ( 4 - t ) = \frac{m}{16}, 16t2−64t+m=016 t ^{2} - 64 t + m = 0 이 때, D4=322−16m≥0\displaystyle \frac{D}{4} = 32 ^{2} - 16 m \geq 0 ∴ m≤64m \leq 64 따라서 구하는 mm의 최대값은 6464이다.

태그

#로그방정식#치환#판별식

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