로그 연립방정식

$\log _{3} x = X$, $\log _{2} y = Y$라 하면 주어진 연립방정식은 $\displaystyle \log _{3} x + \log _{2} \frac{1}{y} = 1$ $\leftrightarrow$ $X - Y = 1$ ⋯⋯ ㉠ $\displaystyle \log _{9} 3 x + \log _{\frac{1}{2}} y = 1 - \frac{k}{2}$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{1}{2} ( 1 + \log _{3} x ) - \log _{2} y = 1 - \frac{k}{2}$ $\leftrightarrow$ $X - 2 Y = 1 - k$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $X = k + 1$, $Y = k$ 따라서 $\log _{3} \alpha = k + 1$, $\log _{2} \beta = k$에서 $\alpha$$= 3 ^{k+1}$, $\beta = 2 ^{k}$ $\alpha \leq \beta$ $\leftrightarrow$ $3 ^{k+1} \leq 2 ^{k}$ $\leftrightarrow$ $\displaystyle 3 \leq \left( \frac{2}{3} \right) ^{k}$ $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{-1}$$\displaystyle = \frac{3}{2} < 3$, $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{-2} = \frac{9}{4} < 3$, $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{-3} = \frac{8}{27} > 3$ 이므로 $\alpha \leq \beta$를 만족하는 정수 $k$의 최댓값은 $- 3$이다.