대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 연립방정식

문제

세 양수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여 $\displaystyle \begin{cases} \log _{2} ab + \log _{2} bc = 5 \\ \log _{2} bc + \log _{2} ca = 8 \\ \log _{2} ca + \log _{2} ab = 7 \end{cases}$ 이 성립할 때, $a + b + c$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

주어진 조건에서 각 변끼리 더하면 $2 \left( \log _{2} ab + \log _{2} bc + \log _{2} ca \right) = 20$ $\log _{2} ab + \log _{2} bc + \log _{2} ca = 10$ … ㉠ 따라서 $\log _{2} ab = 2$ , $\log _{2} bc = 3$ , $\log _{2} ca = 5$ 이므로 $ab = 4$ , $bc = 8$ , $ca = 32$ … ㉡㉠에서 $\log _{2} ( abc ) ^{2} = 10$ , $\log _{2} abc = 5$ ∴ $abc = 32$ … ㉢㉡, ㉢에서 $a = 4$ , $b = 1$ , $c = 8$ 이므로 $a + b + c = 13$

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